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从数学上讲，卷积就是一种运算。
某种运算，能被定义出来，至少有以下特征：
首先是抽象的、符号化的
其次，在生活、科研中，有着广泛的作用
比如加法：
- \(a+b\)，是抽象的，本身只是一个数学符号
- 在现实中，有非常多的意义，比如增加、合成、旋转等等
卷积，是我们学习高等数学之后，新接触的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来觉得很复杂。
1 卷积的定义
我们称 为
的卷积
其连续的定义为：
\[\displaystyle (f*g)(n)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(n-\tau )d\tau\]
其离散的定义为：
\[\displaystyle (f*g)(n)=\sum_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(n- \tau)\]
这两个式子有一个共同的特征：
这个特征有什么意义？
我们令 \(x=\tau ,y=n-\tau\) ，那么 \(x+y=n\) 就是下面这些直线：
只看数学符号，卷积是抽象的，不好理解的，但是，我们可以通过现实中的意义，来习惯卷积这种运算，正如我们小学的时候，学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。
我们来看看现实中，这样的定义有什么意义。
2 离散卷积的例子：丢骰子
我有两枚骰子：
把这两枚骰子都抛出去：
求：两枚骰子点数加起来为4的概率为多少?
这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于4，这正是卷积的应用场景。
我们把骰子各个点数出现的概率表示出来：
那么，两枚骰子点数加起来为4的情况有：
因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：
\[f(1)g(3)+f(2)g(2)+f(3)g(1)\]
符合卷积的定义，把它写成标准的形式就是：
\[\displaystyle (f*g)(4)=\sum _{m=1}^{3}f(4-m)g(m)\]
3 连续卷积的例子：做馒头
楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。
假设馒头的生产速度是 \(f(t)\)，那么一天后生产出来的馒头总量为：
\[\displaystyle \int _{0}^{24}f(t)dt\]
馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为 \(g(t)\) ，比如，10个馒头，24小时会腐败：
\[10*g(t)\]
想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。
如此，我们可以知道，一天后，馒头总共腐败了：
\[\displaystyle \int _{0}^{24}f(t)g(24-t)dt\]
这就是连续的卷积。
4 图像处理
4.1 原理
有这么一副图像，可以看到，图像上有很多噪点：
高频信号，就好像平地耸立的山峰：
看起来很显眼。
平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去，用数学的话来说，就是把山峰周围的高度平均一下。
平滑后得到：
4.2 计算
卷积可以帮助实现这一平滑算法。
有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵：
然后用下面这个平均矩阵（说明下，原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）来平滑图像。
\[\displaystyle g=\begin{bmatrix} \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{1}{9} & \frac{1}{9} \end{bmatrix}\]
记得刚才说过的算法，把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。
比如我要平滑 \(a_{1,1}\) 点，就在矩阵中，取出 \(a_{1,1}\) 点附近的点组成矩阵 \(f\) , 和 \(g\) 进行卷积计算后，再填回去：
要注意一点，为了运用卷积，\(g\) 虽然和 \(f\) 同纬度，但下标有点不一样：
我用一个动图来说明计算过程：
写成卷积公式就是：
\[\displaystyle (f*g)(1,1)=\sum _{h=0}^{2}\sum _{k=0}^{2}f(h,k)g(1-h,1-k)\]
要求 \(C_{4,5}\) ，一样可以套用上面的卷积公式。
\[\displaystyle (f*g)(m,n)=\sum _{h=m-1}^{m+1}\sum _{k=n-1}^{n+1}f(h,k)g(m-h,n-k) \; (对于3*3的卷积核)\]
这相当于实现了 \(g\) 这个矩阵在原来图像上的滑动（准确来说这幅图把 \(g\) 矩阵旋转了 \(180^\circ\) ）：
此图出处：